Examen Meknès — Juin 2013 (Nombres premiers & atome)

Académie de Meknès-Tafilalet — Juin 2013. Texte mathématique sur les nombres premiers de Mersenne et leur usage en cryptographie, suivi d'un texte arabe sur le modèle planétaire de l'atome.

Exercice 1 · Texte source

Les nombres premiers de Mersenne

Les nombres premiers ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. Ils sont infinis en nombre, comme l'a démontré Euclide il y a plus de deux mille ans, mais leur répartition reste imprévisible. C'est précisément cette imprévisibilité qui les rend si précieux : la cryptographie moderne, et notamment le système RSA qui sécurise nos transactions bancaires en ligne, repose sur la difficulté de factoriser le produit de deux très grands nombres premiers.

Une catégorie particulière de nombres premiers retient l'attention des mathématiciens : les nombres de Mersenne, du nom du moine français Marin Mersenne (1588-1648). Ce sont les nombres de la forme M(p) = 2^p − 1, où p est lui-même un nombre premier. Tous les nombres de Mersenne ne sont pas premiers, mais quand ils le sont, ils figurent parmi les plus grands nombres premiers connus.

Le projet collaboratif GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), lancé en 1996, mobilise des milliers d'ordinateurs à travers le monde pour rechercher de nouveaux nombres premiers de Mersenne. En janvier 2013, le 48e nombre premier de Mersenne a été découvert : il comporte plus de 17 millions de chiffres.

D'après La Recherche, février 2013 (texte adapté)

Questions & corrigé · Exercice 1

Solutions commentées

Question 01 · Domaine

De quel domaine scientifique relève le texte ? Justifier. (2 pts)

Corrigé Le texte relève des mathématiques, plus précisément de l'arithmétique et de la cryptographie. Termes confirmant : nombres premiers, factoriser, cryptographie, nombres de Mersenne.

Question 02 · Idée générale

Formuler en deux phrases l'idée générale du texte. (2 pts)

Corrigé Le texte présente les nombres premiers et leur importance, notamment en cryptographie moderne. Il décrit ensuite une catégorie particulière, les nombres premiers de Mersenne, et mentionne le projet GIMPS qui mobilise des ordinateurs à travers le monde pour en découvrir de nouveaux.

Question 03 · Tableau lexical

Classer : nombre premier, factoriser, divisible par, nombre de Mersenne, retenir l'attention. (2,5 pts)

Corrigé

Synapsie	Terme monoréf.	Syntagme	Phraséologie
divisible par	factoriser	nombre premier nombre de Mersenne	retenir l'attention

Question 04 · Compréhension

En se référant au texte, expliquer pourquoi les nombres premiers sont importants pour la cryptographie. (1,5 pt)

Corrigé Les nombres premiers sont précieux en cryptographie parce qu'il est très difficile de retrouver les deux facteurs premiers à partir de leur produit, lorsque ces facteurs sont très grands. C'est sur cette difficulté de factorisation que repose la sécurité du système RSA, qui protège les transactions bancaires en ligne.

Question 05 · Référent

À quoi renvoie le pronom « ils » dans « quand ils le sont, ils figurent parmi les plus grands nombres premiers connus » ? (0,5 pt)

Corrigé Le pronom « ils » renvoie aux nombres de Mersenne.

Question 06 · Traduction (FR → AR)

Traduire en arabe le passage : « Une catégorie particulière de nombres premiers retient l'attention des mathématiciens : les nombres de Mersenne. Ce sont les nombres de la forme M(p) = 2^p − 1, où p est lui-même un nombre premier. » (4 pts)

Corrigé هناك صنف خاص من الأعداد الأولية يستأثر باهتمام الرياضيين، وهو أعداد ميرسين. وهي الأعداد التي تأخذ الشكل M(p) = 2^p − 1، حيث p هو نفسه عدد أولي.

Exercice 2 · Texte arabe (atome)

Le modèle planétaire de l'atome

اقترح الفيزيائي الإنجليزي إرنست رذرفورد سنة 1911 نموذجا جديدا للذرة بعد تجاربه الشهيرة على رقائق الذهب الرقيقة. ومفاد هذا النموذج أن الذرة تتكون من نواة مركزية صغيرة جدا وكثيفة وموجبة الشحنة، تدور حولها الإلكترونات السالبة الشحنة على مسافات بعيدة نسبيا. ويُشبه هذا النموذج النظام الشمسي حيث تدور الكواكب حول الشمس، ولذلك سمي بالنموذج الكوكبي. غير أن هذا النموذج يعاني من إشكال أساسي: حسب نظرية الكهرومغناطيسية الكلاسيكية، الإلكترون المتسارع يفقد طاقة عبر الإشعاع، فينبغي إذًا أن ينهار على النواة في جزء ضئيل من الثانية. وقد تجاوز نيلز بور هذا الإشكال سنة 1913 بإدخال مفاهيم الفيزياء الكمية على النموذج الذري.

Question 07 · Version (AR → FR)

Traduire le texte arabe en français en utilisant les termes : noyau, électrons, modèle planétaire, électromagnétisme, mécanique quantique. (5 pts)

Corrigé En 1911, le physicien anglais Ernest Rutherford proposa un nouveau modèle de l'atome après ses célèbres expériences sur les feuilles d'or fines. Selon ce modèle, l'atome est constitué d'un noyau central très petit, dense et chargé positivement, autour duquel gravitent des électrons à charge négative, à des distances relativement grandes. Ce modèle ressemble au système solaire, où les planètes tournent autour du Soleil ; c'est pourquoi il est appelé modèle planétaire. Cependant, ce modèle souffrait d'un problème fondamental : d'après la théorie classique de l'électromagnétisme, un électron en mouvement accéléré perd de l'énergie sous forme de rayonnement, et devrait donc s'effondrer sur le noyau en une fraction de seconde. C'est Niels Bohr qui dépassa cette difficulté en 1913 en introduisant les concepts de la mécanique quantique dans le modèle atomique.

L'examen de Meknès illustre la rigueur attendue : il faut savoir restituer en arabe une notation mathématique (M(p) = 2^p − 1) tout en traduisant l'argumentation qui l'entoure. — Note pédagogique